60点が平均のテストで、30点取ったときの気持ち？
う、うん。その平均点からの差分（-30）を偏差っていうんだけど…これは標準偏差とは違うの。次の例をみてくれる？
ある試験結果１
平均は？ （40＋45＋60＋75＋80）÷ ５＝60
平均との差（偏差）の平均は？ （20＋15＋0＋15＋20） ÷ ５＝14
平均との差（偏差）の平均は？ （20＋15＋0＋15＋20） ÷ ５＝14
※ 偏差を便宜上絶対値表示にしています。
ある試験結果2
平均は？ （35＋50＋60＋70＋85）÷ ５＝60
偏差平均は？ （25＋10＋0＋10＋25） ÷ ５＝14
偏差平均は？ （25＋10＋0＋10＋25） ÷ ５＝14
ある試験結果3
平均は？ （30＋55＋60＋65＋90）÷ ５＝60
偏差平均は？ （30＋5＋0＋5＋30） ÷ ５＝14
偏差平均は？ （30＋5＋0＋5＋30） ÷ ５＝14
どの試験が差が大きいテストだったと思う？
それは最後でしょ…
でも、平均点も偏差平均も上の３つは答えが一緒になって参考にならないの。
その直感を「データのばらつき方の大きさ」として数値にするのが標準偏差よ。
その直感を「データのばらつき方の大きさ」として数値にするのが標準偏差よ。
Step # 1：標準偏差の求め方
標準偏差は、平均からの差（偏差）を2乗して、大きな差程強調してから平均するの。
試験結果1の標準偏差
※ 平均は60、偏差平均は（20＋15＋0＋15＋20） ÷ ５＝14 でした。
どし
1では、差を強調するために、偏差を2乗してから平均を出します。
2では、1の答えが大きすぎるので、平方根で数字を2乗前の小さなものに。
1では、差を強調するために、偏差を2乗してから平均を出します。
2では、1の答えが大きすぎるので、平方根で数字を2乗前の小さなものに。
標準偏差は？ 17.7点 （受験者の大半が平均点から17.7点以内にいる。）
試験結果2の標準偏差
※ 平均は60、偏差平均は（25＋10＋0＋10＋25） ÷ ５＝14 でした。
どし
1では、差を強調するために、偏差を2乗してから平均を出します。
2では、1の答えが大きすぎるので、平方根で数字を2乗前の小さなものに。
1では、差を強調するために、偏差を2乗してから平均を出します。
2では、1の答えが大きすぎるので、平方根で数字を2乗前の小さなものに。
標準偏差は？ 19点 （受験者の大半が平均点から19点以内にいる。）
試験結果3の標準偏差
※ 平均は60、偏差平均は（30＋5＋0＋5＋30） ÷ ５＝14 でした。
どし
1では、差を強調するために、偏差を2乗してから平均を出します。
2では、1の答えが大きすぎるので、平方根で数字を2乗前の小さなものに。
1では、差を強調するために、偏差を2乗してから平均を出します。
2では、1の答えが大きすぎるので、平方根で数字を2乗前の小さなものに。
標準偏差は？ 21.5点 （受験者の大半が平均点から21.5点以内にいる。）
たしかに点数に差があるテスト程標準偏差が高くなってるけど、平均の21.5点以内にAさんとBさん入ってないよ…
大半の受験者が、って言い方をしていたのはこのせいで、実は全体の約68％を意味するの。「平均値±標準偏差」に全体の約7割が含まれることを統計的に「68%ルール」と言って、これは広く自然界で認められた現象なのよ。
じゃあ絶対ではないけど、データのばらつき具合を直感的に把握できる数字ってこと？
その通り。もし余りに標準偏差が大きければ、データとしてはサンプルのばらつきが多く、信頼できないかもと考えることもできるわ。今回の例では5人のテストの点扱ったけど、実際はもっとサンプル数も外れ値も多いデータを使うことがあるでしょう？標準偏差が統計資料に多く添付されるのは、ある程度直感的にデータの振り幅を読者に伝えるためね。
標準偏差の使い道
例えば、あなたがお弁当屋さんだとします。一日平均60個が売れ、標準偏差が8だとしたら……売れない日では平均52個、調子のいい日には68個が出る。この予測が立てられることで、ロスの少ない経営ができますね。
例えば、あなたがお弁当屋さんだとします。一日平均60個が売れ、標準偏差が8だとしたら……売れない日では平均52個、調子のいい日には68個が出る。この予測が立てられることで、ロスの少ない経営ができますね。
平均点から何点以内に受験者の多くが収まるかを求める関数よ。その何点が大きい程、点のばらつきが激しいテストだったと考えられるわ。